【专升本同学必备的高等数学公式大全】对于正在备战专升本考试的同学来说，高等数学是必考科目之一，掌握好相关的数学公式不仅有助于提高解题效率，还能在考试中赢得更多时间。为了帮助大家更好地复习和备考，本文整理了一份专升本同学必备的高等数学公式大全，内容涵盖函数、极限、导数、积分、微分方程等核心知识点，方便大家随时查阅与记忆。
一、函数部分
1. 基本初等函数：
- 常数函数：$ y = C $
- 幂函数：$ y = x^a $（其中 $ a \in \mathbb{R} $）
- 指数函数：$ y = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $）
- 对数函数：$ y = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $）
- 三角函数：如 $ \sin x, \cos x, \tan x, \cot x $
2. 反函数：
若 $ y = f(x) $ 是单调函数，则其反函数为 $ x = f^{-1}(y) $。
二、极限与连续
1. 极限的基本性质：
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = A $，$ \lim_{x \to a} g(x) = B $，则：
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B $
- $ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B $
- $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $（$ B \neq 0 $）
2. 常用极限公式：
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 $
- $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $
3. 无穷小量与无穷大量：
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = 0 $，称 $ f(x) $ 为无穷小量。
- 若 $ \lim_{x \to a} f(x) = \infty $，称 $ f(x) $ 为无穷大量。
三、导数与微分
1. 导数定义：
$$
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$$
2. 基本求导公式：
- $ (C)' = 0 $
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (e^x)' = e^x $
3. 导数运算法则：
- 和差法则：$ (u \pm v)' = u' \pm v' $
- 积法则：$ (uv)' = u'v + uv' $
- 商法则：$ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $
- 链式法则：$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
4. 高阶导数：
- $ f''(x) = [f'(x)]' $
- $ f'''(x) = [f''(x)]' $，依此类推。
四、积分与不定积分
1. 不定积分基本公式：
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C $
2. 积分方法：
- 换元法
- 分部积分法：$ \int u dv = uv - \int v du $
- 有理函数分解法
- 三角替换法
五、微分方程基础
1. 一阶线性微分方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
解法：使用积分因子法。
2. 可分离变量方程：
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$$
解法：将变量分开后积分。
3. 齐次方程：
$$
\frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right)
$$
解法：令 $ y = vx $，化为可分离变量方程。
六、常见公式总结表（简要）
| 类别 | 公式示例 |
|------------|--------------------------------------------------------------------------|
| 极限 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $|
| 导数 | $ (\sin x)' = \cos x $, $ (e^x)' = e^x $ |
| 积分 | $ \int \cos x dx = \sin x + C $, $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $ |
| 微分方程 | $ \frac{dy}{dx} + y = x $，可用积分因子法求解 |
结语
高等数学作为专升本考试中的重要科目，掌握好相关公式是提升成绩的关键。建议同学们在复习过程中不仅要熟记公式，更要理解其背后的数学思想，并通过大量练习加以巩固。希望这份《专升本同学必备的高等数学公式大全》能够成为你备考路上的得力助手，助你在考试中取得理想的成绩！
