【《实变函数》复习试题及答案】在学习《实变函数》这门课程的过程中，理解其核心概念与掌握解题技巧是提高成绩的关键。为了帮助同学们更好地复习和巩固所学知识，以下是一份针对《实变函数》的复习试题及参考答案，旨在帮助学生全面回顾课程内容，提升应试能力。
一、选择题（每题2分，共10分）
1. 下列集合中，属于可测集的是：
A. 有理数集
B. 无理数集
C. 康托尔集
D. 所有闭区间
2. 设 $ f(x) $ 是定义在区间 $ [a,b] $ 上的可积函数，则下列说法正确的是：
A. $ f(x) $ 必为连续函数
B. $ f(x) $ 必为有界函数
C. $ f(x) $ 必为单调函数
D. $ f(x) $ 可以有无限多个不连续点
3. 若 $ E \subset \mathbb{R} $ 是一个不可测集，则其补集：
A. 一定可测
B. 一定不可测
C. 可能可测也可能不可测
D. 不确定
4. 设 $ f_n(x) $ 在 $ [a,b] $ 上几乎处处收敛于 $ f(x) $，则下列说法正确的是：
A. $ f_n(x) $ 一定一致收敛于 $ f(x) $
B. $ f_n(x) $ 的极限函数一定是可积的
C. $ f_n(x) $ 一定在 $ L^1 $ 空间中收敛
D. 无法保证 $ f(x) $ 的可积性
5. 若 $ f $ 是可测函数，$ g $ 是连续函数，则 $ f \circ g $ 是：
A. 连续函数
B. 可积函数
C. 可测函数
D. 不可测函数
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 实变函数中的“测度”是指对集合的__________进行量化。
2. 若 $ f $ 是可积函数，则 $ \int |f| dx < +\infty $ 表示 $ f $ 是__________可积函数。
3. 康托尔集是一个__________集，且其测度为__________。
4. 在勒贝格积分中，若 $ f_n \to f $ 几乎处处，且 $ |f_n| \leq g $，其中 $ g $ 可积，则 $ \lim_{n \to \infty} \int f_n dx = \int f dx $，这是__________定理。
5. 若 $ f $ 是可测函数，则 $ f $ 的图像在 $ \mathbb{R}^2 $ 中是一个__________集。
三、简答题（每题10分，共30分）
1. 简述勒贝格测度与外测度的关系，并说明为什么需要引入外测度的概念。
2. 什么是“几乎处处”？请举例说明在实变函数中“几乎处处”的意义。
3. 证明：若 $ f $ 是可积函数，则 $ f $ 必为可测函数。
四、计算题（每题15分，共30分）
1. 设 $ f(x) = \begin{cases}
x, & x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} \\
0, & x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q}
\end{cases} $
求 $ \int_0^1 f(x) dx $，并说明理由。
2. 设 $ f_n(x) = n x e^{-n x} $，在 $ [0, +\infty) $ 上讨论 $ f_n(x) $ 的极限函数，并判断是否可以交换极限与积分顺序。
五、证明题（每题15分，共20分）
1. 证明：若 $ f $ 是可测函数，且 $ f $ 几乎处处等于零，则 $ \int f dx = 0 $。
2. 证明：若 $ f $ 是可积函数，则 $ f $ 在任意子区间上也是可积的。
参考答案
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. B
5. C
二、填空题
1. 大小
2. 勒贝格
3. 不可数；0
4. 控制收敛
5. 可测
三、简答题
略（可根据教材内容进行阐述）
四、计算题
1. $ \int_0^1 f(x) dx = 0 $，因为 $ f(x) $ 在无理数点上为0，而有理数集测度为0。
2. 极限函数为0，但由于 $ \int_0^\infty f_n(x) dx = 1 $，所以不能交换积分与极限。
五、证明题
略（可参考教材或相关资料）
通过以上试题的练习，能够帮助学生系统地回顾《实变函数》的核心知识点，包括测度理论、可测函数、积分理论以及相关的收敛定理等内容。希望这份复习资料对大家的学习有所帮助！
