【新课标高考数学题型全归纳等比数列的通项与求和典型例题剖析】在高中数学中，等比数列是数列部分的重要内容之一，也是高考数学中的高频考点。掌握等比数列的通项公式与前n项和的求法，不仅有助于解决相关的选择题、填空题，更对解答综合性较强的解答题具有重要意义。本文将围绕“等比数列的通项与求和”这一主题，结合近年来高考真题及典型例题进行深入剖析，帮助学生系统掌握相关知识点。
一、等比数列的基本概念
等比数列是指从第二项起，每一项与前一项的比值为同一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ q $。若首项为 $ a_1 $，则等比数列的一般形式为：
$$
a_1, a_1q, a_1q^2, a_1q^3, \ldots
$$
二、等比数列的通项公式
等比数列的第 $ n $ 项（即通项）公式为：
$$
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
$$
其中：
- $ a_1 $ 是首项；
- $ q $ 是公比；
- $ n $ 是项数。
应用举例：
已知某等比数列的首项为2，公比为3，求第5项。
解：
由通项公式可得：
$$
a_5 = 2 \times 3^{5-1} = 2 \times 81 = 162
$$
三、等比数列的前n项和公式
等比数列的前 $ n $ 项和公式为：
当 $ q \ne 1 $ 时，
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad \text{或} \quad S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$
当 $ q = 1 $ 时，所有项都相等，因此：
$$
S_n = a_1 \cdot n
$$
应用举例：
设等比数列的首项为3，公比为2，求前4项的和。
解：
代入公式：
$$
S_4 = 3 \cdot \frac{2^4 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot (16 - 1) = 3 \times 15 = 45
$$
四、典型例题解析
例题1：
已知等比数列 $ \{a_n\} $ 中，$ a_3 = 12 $，$ a_6 = 96 $，求其通项公式。
分析：
根据通项公式 $ a_n = a_1 q^{n-1} $，有：
$$
a_3 = a_1 q^2 = 12 \\
a_6 = a_1 q^5 = 96
$$
将两式相除：
$$
\frac{a_1 q^5}{a_1 q^2} = \frac{96}{12} \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q = 2
$$
代入 $ a_3 = a_1 q^2 = 12 $ 得：
$$
a_1 \cdot 4 = 12 \Rightarrow a_1 = 3
$$
所以通项公式为：
$$
a_n = 3 \cdot 2^{n-1}
$$
例题2：
设等比数列 $ \{a_n\} $ 的前3项和为7，前三项积为8，求该数列的通项公式。
分析：
设首项为 $ a $，公比为 $ q $，则：
$$
a + aq + aq^2 = 7 \quad \text{(1)} \\
a \cdot aq \cdot aq^2 = a^3 q^3 = 8 \quad \text{(2)}
$$
由(2)得：
$$
a^3 q^3 = 8 \Rightarrow (aq)^3 = 8 \Rightarrow aq = 2
$$
代入(1)得：
$$
a + 2 + 2q = 7 \Rightarrow a + 2q = 5
$$
又因为 $ aq = 2 $，所以 $ a = \frac{2}{q} $
代入上式：
$$
\frac{2}{q} + 2q = 5 \Rightarrow 2 + 2q^2 = 5q \Rightarrow 2q^2 - 5q + 2 = 0
$$
解得：
$$
q = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} \Rightarrow q = 2 \text{ 或 } q = \frac{1}{2}
$$
对应 $ a = 1 $ 或 $ a = 4 $
所以通项公式为：
- 当 $ q = 2 $ 时，$ a_n = 1 \cdot 2^{n-1} $
- 当 $ q = \frac{1}{2} $ 时，$ a_n = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} $
五、总结与建议
等比数列的通项与求和是高考数学中较为基础但重要的内容，掌握好基本公式并灵活运用是关键。在复习过程中，建议学生多做题、多总结，特别是注意以下几点：
1. 理解公比的意义，尤其是 $ q = 1 $ 时的特殊情况；
2. 熟练使用通项与求和公式，避免计算错误；
3. 善于利用方程思想，如通过已知项求出首项和公比；
4. 关注实际问题中的等比数列模型，如复利、增长问题等。
通过系统的训练和思考，考生可以轻松应对高考中关于等比数列的相关题目，提升数学成绩。
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结语：
掌握等比数列的通项与求和方法，不仅是应对考试的需要，更是培养逻辑思维能力和数学建模能力的重要途径。希望本文能为广大学生提供有价值的参考与指导。
