在高中数学中，解三角形是重要的知识点之一，尤其在高考中占有一定比重。它主要涉及三角形的边、角之间的关系，以及正弦定理、余弦定理等基本公式的应用。掌握好这部分内容，不仅能提高数学成绩，还能培养逻辑思维能力和实际问题的解决能力。
本专题精选了近年来高考中常见的解三角形相关题目，并附有详细解答，帮助学生巩固知识、提升解题技巧。
一、基础题型
1. 已知三角形的两边及夹角，求第三边
例题：
在△ABC中，已知a=5，b=7，角C=60°，求c的值。
解析：
根据余弦定理：
$$
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C
$$
代入数据：
$$
c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60^\circ = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39
$$
所以，
$$
c = \sqrt{39}
$$
答案： $ c = \sqrt{39} $
2. 已知三边，求某个角
例题：
在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求角A的大小。
解析：
根据余弦定理：
$$
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
$$
代入数据：
$$
\cos A = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \times 4 \times 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = 0.8
$$
因此，
$$
A = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ
$$
答案： 角A约为36.87°
二、综合应用题
3. 已知三角形的两个角和一边，求其他边和角
例题：
在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，边a=2√2，求边b和边c的长度。
解析：
首先求出第三个角：
$$
\angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ
$$
利用正弦定理：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
先求b：
$$
\frac{2\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}
$$
$$
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
$$
\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow 4 = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow b = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}
$$
再求c：
$$
\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{c}{\sin 75^\circ}
$$
$$
\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
$$
4 = \frac{c}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow c = 4 \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{6} + \sqrt{2}
$$
答案：
边b为 $ 2\sqrt{3} $，边c为 $ \sqrt{6} + \sqrt{2} $
三、拓展与提高题
4. 实际问题中的解三角形应用
例题：
一艘船从港口A出发，向北偏东30°方向行驶了20公里到达B点，再向北偏西60°方向行驶了15公里到达C点。求从A到C的距离。
解析：
画图分析，设港口A为原点，建立坐标系。
- 从A到B的方向为北偏东30°，即与正北方向夹角为30°，对应方位角为60°（相对于正东方向）。
- 从B到C的方向为北偏西60°，即与正北方向夹角为60°，对应方位角为120°（相对于正东方向）。
使用向量或坐标法计算：
设A为(0,0)，则B点坐标为：
$$
x_B = 20 \cos(60^\circ) = 10, \quad y_B = 20 \sin(60^\circ) = 10\sqrt{3}
$$
C点坐标为：
$$
x_C = x_B + 15 \cos(120^\circ) = 10 + 15 \times (-\frac{1}{2}) = 10 - 7.5 = 2.5
$$
$$
y_C = y_B + 15 \sin(120^\circ) = 10\sqrt{3} + 15 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} + 7.5\sqrt{3} = 17.5\sqrt{3}
$$
AC的距离为：
$$
AC = \sqrt{(2.5)^2 + (17.5\sqrt{3})^2} = \sqrt{6.25 + 918.75} = \sqrt{925} \approx 30.41 \text{ km}
$$
答案： 从A到C的距离约为30.41公里。
四、总结
解三角形问题通常需要灵活运用正弦定理、余弦定理，以及三角函数的基本公式。在实际问题中，往往需要结合几何图形进行分析，合理设定坐标或角度关系，才能准确求解。
建议同学们多做练习题，熟悉各种题型的解题思路，逐步提高解题速度与准确率。
附：参考答案汇总
1. $ c = \sqrt{39} $
2. $ A \approx 36.87^\circ $
3. $ b = 2\sqrt{3}, \quad c = \sqrt{6} + \sqrt{2} $
4. $ AC \approx 30.41 \text{ km} $
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