在学习概率论的过程中，掌握基本概念与解题技巧是至关重要的。为了帮助学生更好地理解和巩固所学知识，以下是一份精心设计的《概率论试题》，旨在考察学生对概率基础理论、随机事件、概率分布及期望方差等核心内容的理解与应用能力。

一、选择题（每题4分，共20分）

1. 设事件A和B互不相容，则以下哪个结论一定成立？

A. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

B. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

C. P(A|B) = P(A)

D. P(A ∪ B) = 1

2. 若X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)和Var(X)分别为：

A. λ, 0

B. λ, λ

C. 0, λ

D. λ, 2λ

3. 设X ~ N(μ, σ²)，则P(X ≤ μ)等于：

A. 0.5

B. 0

C. 1

D. 不确定

4. 若两个随机变量X和Y相互独立，则它们的协方差为：

A. 1

B. 0

C. E(X) × E(Y)

D. Var(X) + Var(Y)

5. 设随机变量X的分布函数为F(x)，则F(∞)等于：

A. 0

B. 1

C. F(0)

D. 无法确定

二、填空题（每空3分，共15分）

1. 某次考试中，有30%的学生通过了数学考试，60%的学生通过了英语考试，且有20%的学生同时通过了两门考试。则至少有一门考试通过的概率为________。

2. 设X ~ U[0, 2]，则P(X < 1) = ________。

3. 若X和Y相互独立，且X ~ N(0,1)，Y ~ N(0,1)，则X+Y服从的分布为________。

4. 设随机变量X的期望为3，方差为2，则E(2X + 1) = ________。

5. 若事件A发生的概率为0.4，事件B发生的概率为0.5，且P(A ∪ B) = 0.7，则P(A ∩ B) = ________。

三、简答题（每题10分，共30分）

1. 请解释什么是条件概率，并给出一个实际例子说明其应用场景。

2. 简述大数定律的基本思想及其在统计推断中的意义。

3. 设X是一个离散型随机变量，其概率质量函数为P(X = k) = (1/2)^k，k = 1, 2, 3, ...，求X的期望值E(X)。

四、计算题（每题15分，共30分）

1. 假设某地区男性吸烟率为40%，女性吸烟率为20%。已知该地区男女比例为1:1。现从该地区随机抽取一人，发现其吸烟。求此人是男性的概率。

2. 设随机变量X服从参数为θ的指数分布，其概率密度函数为f(x) = θe^{-θx}，x ≥ 0。若X的期望为2，求θ的值，并计算P(X > 3)。

参考答案（供教师使用）

一、选择题

1. A

2. B

3. A

4. B

5. B

二、填空题

1. 0.7

2. 0.5

3. N(0, 2)

4. 7

5. 0.2

三、简答题（略）

四、计算题

1. 0.666...

2. θ = 0.5；P(X > 3) ≈ 0.0498

本试题涵盖了概率论的基础知识点，适用于课程期末测试或阶段性检测。通过练习此类题目，有助于提升学生的逻辑思维能力和数学建模能力。