在大学高等数学的学习过程中，掌握一些常用的数学公式是非常重要的。这些公式不仅能够帮助我们更快地解题，还能加深对数学概念的理解。本文将为大家整理和归纳一些在高等数学中经常用到的公式，适用于微积分、线性代数、微分方程等课程内容。
一、微积分相关公式
1. 导数的基本公式
- $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$
- $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$
- $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- $\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$
- $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$
- $\frac{d}{dx}e^x = e^x$
2. 常用导数运算法则
- 和差法则：$(u \pm v)' = u' \pm v'$
- 乘积法则：$(uv)' = u'v + uv'$
- 商法则：$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
- 链式法则：若 $y = f(u)$, $u = g(x)$，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
3. 积分基本公式
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
4. 分部积分法
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
二、泰勒展开与麦克劳林展开
泰勒级数是将函数表示为无穷级数的一种方法，常用于近似计算和函数分析。
- 泰勒展开（在 $x = a$ 处）：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n
$$
- 麦克劳林展开（在 $x = 0$ 处）：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
$$
常见函数的麦克劳林展开：
- $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
- $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
三、微分方程基础公式
1. 一阶线性微分方程
形式：$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$
通解公式：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
其中 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$ 是积分因子。
2. 可分离变量的微分方程
形如 $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$，可化为：
$$
\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx
$$
两边分别积分即可求解。
四、向量与空间解析几何
1. 向量点积与叉积
- 点积：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$
- 叉积：$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta \cdot \hat{n}$
2. 平面与直线方程
- 平面方程：$Ax + By + Cz + D = 0$
- 直线方向向量：$\vec{v} = (a, b, c)$，参数方程为：
$$
x = x_0 + at,\quad y = y_0 + bt,\quad z = z_0 + ct
$$
五、多元函数微分学
1. 偏导数
对于 $z = f(x, y)$，其偏导数为：
- $\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$
- $\frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}$
2. 全微分
$$
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
$$
六、重积分与曲线积分
1. 二重积分
$$
\iint_D f(x,y) dA
$$
2. 曲线积分
设曲线 $C$ 由参数方程 $x = x(t), y = y(t)$ 给出，则：
$$
\int_C f(x,y) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt
$$
以上就是本篇“大学高数常用公式大全_4”中整理的一些重要公式，涵盖了微积分、微分方程、向量分析等多个方面。希望对正在学习高等数学的同学有所帮助。在实际应用中，建议结合例题进行练习，以加深理解和记忆。
