在流体力学的学习过程中，习题解答是巩固理论知识的重要环节。通过解决实际问题，我们能够更深入地理解流体的运动规律和相关原理。下面是一些典型习题的答案解析，希望能帮助大家更好地掌握这门学科。
例题1：伯努利方程的应用
题目描述
一根水平放置的管道，直径从左到右逐渐减小。已知左侧截面直径为D₁=0.2m，右侧截面直径为D₂=0.1m。水以恒定速度v₁=2m/s从左侧流入右侧。假设管道内无能量损失，求右侧水流的速度v₂以及两侧的压力差。
解题步骤
1. 根据连续性方程，流量守恒可得：
\[
A_1v_1 = A_2v_2
\]
其中 \(A_1\) 和 \(A_2\) 分别为左右侧截面积，代入直径计算公式 \(A=\frac{\pi D^2}{4}\)，得到：
\[
\frac{\pi (0.2)^2}{4} \cdot 2 = \frac{\pi (0.1)^2}{4} \cdot v_2
\]
解得 \(v_2 = 8 \, \text{m/s}\)。
2. 应用伯努利方程：
\[
p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2
\]
假设管道内无能量损失，则两侧总压头相等，压力差为：
\[
p_1 - p_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)
\]
取水的密度 \(\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3\)，代入数据计算得：
\[
p_1 - p_2 = \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (8^2 - 2^2) = 28000 \, \text{Pa}
\]
答案
右侧水流的速度为 \(v_2 = 8 \, \text{m/s}\)，两侧的压力差为 \(p_1 - p_2 = 28000 \, \text{Pa}\)。
例题2：粘性流体的阻力计算
题目描述
一球形物体在静止液体中以恒定速度下落，已知球体半径R=0.01m，液体密度\(\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3\)，球体密度\(\rho_s = 7800 \, \text{kg/m}^3\)，液体的动力粘度\(\mu = 0.001 \, \text{Pa·s}\)。忽略浮力影响，求球体的下落速度。
解题步骤
1. 球体所受重力为：
\[
F_g = \frac{4}{3} \pi R^3 (\rho_s - \rho_f) g
\]
代入数据计算得：
\[
F_g = \frac{4}{3} \pi (0.01)^3 (7800 - 1000) \cdot 9.81 \approx 0.0308 \, \text{N}
\]
2. 粘性阻力遵循斯托克斯定律：
\[
F_d = 6 \pi \mu R v
\]
当达到平衡状态时，阻力等于重力：
\[
F_d = F_g
\]
即：
\[
6 \pi \mu R v = 0.0308
\]
解得下落速度：
\[
v = \frac{0.0308}{6 \pi \cdot 0.001 \cdot 0.01} \approx 0.165 \, \text{m/s}
\]
答案
球体的下落速度为 \(v = 0.165 \, \text{m/s}\)。
以上两道习题涵盖了流体力学中的基本概念和应用，希望对大家有所帮助。通过不断练习和思考，相信同学们会对流体力学有更加深刻的理解！
