在概率论与数理统计的研究中，随机变量及其分布是一个核心概念。随机变量是将样本空间中的每一个事件映射到实数的一个函数，而分布函数则是描述随机变量取值规律的重要工具。

首先，我们定义分布函数。对于一个随机变量X，其累积分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）记作F(x)，其定义为：

\[ F(x) = P(X \leq x) \]

其中，P表示概率，x为任意实数。这个函数F(x)具有以下几个基本性质：

1. 单调非减性：如果 \(x_1 < x_2\)，则 \(F(x_1) \leq F(x_2)\)

2. 右连续性：对于任意实数x，\(\lim_{y \to x^+} F(y) = F(x)\)

3. 极限性质：当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1。

通过分布函数，我们可以计算随机变量落在某个区间内的概率。例如，随机变量X落在区间(a, b]的概率可以通过分布函数计算得到：

\[ P(a < X \leq b) = F(b) - F(a) \]

此外，分布函数还能够帮助我们理解随机变量的整体行为。无论是离散型随机变量还是连续型随机变量，都可以通过其分布函数来描述。对于离散型随机变量，分布函数表现为一系列跳跃点；而对于连续型随机变量，分布函数则是连续且光滑的曲线。

了解并掌握随机变量的分布函数不仅有助于深入理解概率理论，还能在实际应用中提供强有力的分析工具。无论是金融风险评估、信号处理还是机器学习中的模型构建，分布函数都扮演着不可或缺的角色。因此，研究随机变量的分布函数不仅是数学理论发展的需要，也是解决现实问题的关键所在。