在几何学中，垂径定理是一个非常重要的基本定理，它主要描述了圆的一些特殊性质。简单来说，垂径定理指的是：一条直径如果垂直于弦，则这条直径会平分这条弦，并且也平分由这条弦所对应的弧。

接下来，我们通过一些经典的练习题来帮助大家更好地理解和掌握垂径定理的应用。

练习题 1

已知圆O的半径为5cm，弦AB长为6cm，且直径CD垂直于弦AB，交AB于点E。求AE和BE的长度。

解析：

根据垂径定理，直径CD垂直于弦AB时，直径CD会将弦AB平分，即AE = BE。

设AE = BE = x，则有：

\[

x + x = AB \quad \Rightarrow \quad 2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3

\]

因此，AE = BE = 3cm。

练习题 2

在圆O中，直径CD垂直于弦AB，且交AB于点E。若AB的长度为8cm，直径CD的长度为10cm，求点E到圆心O的距离。

解析：

首先，根据垂径定理，直径CD垂直于弦AB时，点E是AB的中点，所以AE = BE = 4cm。

设OE = y（点E到圆心O的距离），则在直角三角形OEA中，应用勾股定理：

\[

OA^2 = OE^2 + AE^2

\]

其中，OA为圆的半径，等于5cm（因为直径CD = 10cm）。代入数据：

\[

5^2 = y^2 + 4^2 \quad \Rightarrow \quad 25 = y^2 + 16 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad y = 3

\]

因此，点E到圆心O的距离为3cm。

练习题 3

如图所示，在圆O中，弦AB与直径CD相交于点E，且∠AOC = 60°。若AB = 6cm，求直径CD的长度。

解析：

由于直径CD垂直于弦AB，且∠AOC = 60°，可以推断出△AOB为等边三角形。因此，OA = OB = AB = 6cm。

在直角三角形AOE中，根据垂径定理，AE = BE = 3cm。

设直径CD的长度为d，则有：

\[

d = 2 \times OA = 2 \times 6 = 12 \, \text{cm}

\]

因此，直径CD的长度为12cm。

总结

通过以上几道经典练习题，我们可以看到垂径定理在解决圆的相关问题时具有极高的实用性。熟练掌握这一定理，不仅可以快速解答相关题目，还能为更复杂的几何问题打下坚实的基础。

希望这些练习题能够帮助你更好地理解垂径定理！