在数学学习中，一元一次不等式组是一个重要的知识点，它不仅考察了学生的逻辑思维能力，还培养了解决实际问题的能力。为了帮助大家更好地理解和掌握这一内容，下面提供了一组关于一元一次不等式组的测试题，并附有详细的答案解析。
测试题部分
第一题
解下列不等式组：
$$
\begin{cases}
3x - 4 < 8 \\
2x + 5 \geq 11
\end{cases}
$$
第二题
求满足以下条件的所有整数解：
$$
\begin{cases}
x + 7 > 10 \\
2x - 3 \leq 13
\end{cases}
$$
第三题
已知不等式组：
$$
\begin{cases}
4x - 9 < 7 \\
-x + 6 \geq 2
\end{cases}
$$
请确定其解集范围，并用区间表示。
第四题
某工厂生产两种产品A和B，每件产品A需要3小时加工，每件产品B需要2小时加工。该工厂每天最多能工作12小时。如果要求每天至少生产2件产品A，请列出相应的不等式组并求解。
答案解析部分
第一题答案
解第一个不等式：
$$
3x - 4 < 8 \implies 3x < 12 \implies x < 4
$$
解第二个不等式：
$$
2x + 5 \geq 11 \implies 2x \geq 6 \implies x \geq 3
$$
因此，不等式组的解集为：
$$
3 \leq x < 4
$$
第二题答案
解第一个不等式：
$$
x + 7 > 10 \implies x > 3
$$
解第二个不等式：
$$
2x - 3 \leq 13 \implies 2x \leq 16 \implies x \leq 8
$$
综合以上两步，不等式组的解集为：
$$
3 < x \leq 8
$$
满足条件的整数解为：
$$
\{4, 5, 6, 7, 8\}
$$
第三题答案
解第一个不等式：
$$
4x - 9 < 7 \implies 4x < 16 \implies x < 4
$$
解第二个不等式：
$$
-x + 6 \geq 2 \implies -x \geq -4 \implies x \leq 4
$$
综合以上两步，不等式组的解集为：
$$
x < 4 \quad \text{且} \quad x \leq 4
$$
即解集为：
$$
x \leq 4
$$
用区间表示为：
$$
(-\infty, 4]
$$
第四题答案
设每天生产$x$件产品A，$y$件产品B，则根据题意可列出以下不等式组：
$$
\begin{cases}
3x + 2y \leq 12 \\
x \geq 2
\end{cases}
$$
化简第一个不等式：
$$
y \leq \frac{12 - 3x}{2}
$$
结合$x \geq 2$，可得可行解为：
$$
(x, y) = (2, 3), (3, 1)
$$
因此，满足条件的生产方案为生产2件产品A和3件产品B，或生产3件产品A和1件产品B。
通过以上题目及解答，希望大家能够熟练掌握一元一次不等式组的相关知识。在实际应用中，这类问题常常与生活场景相结合，希望同学们能够灵活运用所学知识解决实际问题！
