信息论是现代通信理论的重要基石，它研究的是信息的度量、存储和传输的基本规律。这一学科由克劳德·香农在20世纪40年代创立，并迅速成为计算机科学、通信工程以及人工智能等多个领域的核心理论之一。

一、基本概念

在信息论中，最基本的概念就是信息熵。信息熵用来衡量一个随机变量的不确定性。如果一个事件的发生概率越小，那么它的出现所带来的信息量就越大。例如，在一个公平的硬币投掷实验中，正面或反面出现的概率都是0.5，因此每次投掷带来的信息量为1比特。而如果一枚偏斜的硬币正面出现的概率为0.9，反面出现的概率为0.1，则正面出现时的信息量较小，仅为约0.15比特；相反地，反面出现时的信息量较大，约为3.32比特。

二、信道容量

信道容量是指一个信道能够可靠传输的最大平均信息速率。香农定理表明，在给定噪声水平的情况下，只要发送的信息速率低于信道容量，就可以通过适当的编码技术实现无错误的数据传输。反之，若信息速率超过了信道容量，则无论如何优化编码方案都无法避免错误发生。

三、编码理论

编码理论主要探讨如何有效地将消息转换成适合于特定媒介传输的形式。常见的编码方式包括哈夫曼编码、算术编码等。这些方法旨在减少冗余并提高数据压缩效率。此外还有纠错码如汉明码、RS码等用于检测和纠正传输过程中可能出现的错误。

四、习题与解答

例题1：

假设有一个四进制数字系统，每个符号独立且等概率分布，请计算该系统的熵值。

解：设该四进制系统中的符号为A、B、C、D，且它们的概率均为p(A)=p(B)=p(C)=p(D)=1/4。根据熵公式H(X)=-∑p(x)log₂p(x)，可得：

H(X) = -[4(1/4)log₂(1/4)] = log₂4 = 2bits/symbol

例题2：

已知某信源发出两个符号X={x₁,x₂}，其概率分别为P(x₁)=0.7,P(x₂)=0.3。求这个信源的熵。

解：根据熵公式H(X)=-∑p(x)log₂p(x)，代入已知条件得到：

H(X) = -[0.7log₂0.7 + 0.3log₂0.3] ≈ 0.881bits/symbol

以上只是信息论基础部分的内容概要及简单练习题示例。深入学习还需要掌握更多高级概念和技术细节，比如联合熵、条件熵、互信息等内容。希望本篇简短介绍能激发大家对这一领域的好奇心！